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02. Banachräume, Hilberträume

Normierte Räume

Ein normierter Raum ist ein Raum, auf den eine Norm definiert ist.

Eine Norm $||{\bf a}||$ auf einem Vektorraum V über einen Körper K ist eine Funktion (mit einem Vektor als Parameter), die folgende Eigenschaften alle erfüllt:

$||{\bf a}|| \geq 0$

$||{\bf a}||=0 \Leftrightarrow {\bf a}={\bf 0}$

$||λ⋅{\bf a}||=|λ|⋅||{\bf a}||, λ∈K$ (Linearität)

$||{\bf a}+{\bf b}||≤||{\bf a}||+||{\bf b}||$ (Dreiecksungleichung)

Die Kurzschreibweise für den normierten Raum V ist: (V, ||∙||).

Jeder lineare Unterraum von V ist ebenfalls normiert.

Abstand

Der Abstand d zwischen zwei Vektoren a und b ist definiert als:

$d:=||{\bf a}-{\bf b}||$

Duale Dreiecksungleichung:

$||{\bf a}-{\bf b}||\geq | ||{\bf a}||-||{\bf b}|| |$

Höldersche Ungleichung:

In C, dem Raum komplexer Zahlen, mit , , mit 1<p<∞ und p+q=p⋅q gilt:

$\sum_{i=1}^{n} |a_i⋅b_i|≤√[p]{\sum_{i=1}^{n} {|a_i|^p}}⋅√[q]{\sum_{i=1}^{n} {|b_i|^q}}$ (Höldersche Ungleichung, Spezialfall Cauchy-Schwarz'sche Ungleichung)

$√[p]{\sum_{i=1}^{n} |a_i+b_i|}≤√[p]{\sum_{i=1}^{n} |a_i|^p}+√[p]{\sum_{i=1}^{n} |b_i|^p}$ (Minkowskische Ungleichung, Speziallfall Dreiecksungleichung)

Geometrisches und arithmetisches Mittel

Das verallgemeinerte geometrische Mittel ist immer kleiner oder gleich dem arithmetischen Mittel.

TODO Mengenbegriffe.

TODO Konvergenz in normierten Räumen.

TODO Dichtheit.

Abbildungen zwischen normierten Räumen

Stetigkeit der Abbildung

Stetigkeit der Norm

Lineares Funktional

Beschränktes lineares Funktional

Stetigkeit des linearen Funktionals

Stetigkeit des linearen Funktionals ist äquivalent zur Beschränktheit des linearen Funktionals.

Lineare Operatoren

Beschränkter linearer Operator

Operatornorm

Stetigkeit des linearen Operators

Stetigkeit des linearen Operators ist äquivalent zur Beschränktheit des linearen Operators.

Banachräume, Raum der stetigen Funktionen: C[a, b]

Vollständiger normierter Raum

Vervollständigung eines normierten Raumes

Banachraum

= vollständiger, normierter Raum

Ein Raum ist vollständig, wenn alle Grenzwerte der Cauchyfolgen beliebiger Elemente des Raumes auch Elemente des Raumes sind.

Picard-Iteration

Zum näherungsweisen Lösen von Differentialgleichungen mit den folgenden Voraussetzungen kann die Picard-Iteration verwendet werden:

Bei x'(t)=f(x(t),t) hängt f von x lipschitz-stetig ab:
Bei x'(t)=f(x(t),t) ist f bei festem x stetig.

Zum Beispiel bei dieser Differentialgleichung:

Zuerst sucht man sich einen Startwert (Schätzwert) aus:

Dann wendet man die Picard-Iteration an:

$x_1(t):=1+λ⋅∫_{0}^{t} x_0(τ)dτ=1+λt$

$x_2(t):=1+λ⋅∫_{0}^{t} x_1(τ)dτ$

$x_3(t):=1+λ⋅∫_{0}^{t} x_2(τ)dτ$

usw...

Banach'scher Fixpunktsatz

Wie bei der Picard-Iteration kann man auch im allgemeinen Fall:

Wenn (B, ||∙||) ein Banachraum und F: B->B eine kontrahierende Abbildung von B in sich ist, dann ∃! Fixpunkt:

Beispiele für Banachräume

ist ein Banachraum.

Banachscher Fixpunktsatz

Lineare Hülle ist abgeschlossener Unterraum

Basis eines abgeschlossenen Raumes

Raum der integrierbaren Funktionen: L¹(a,b)

Erster Versuch:

ist ein normierter Raum.

ist kein Banachraum.

Zweiter Versuch: Vervollständigung vom Raum:

$||x⃗||_1:=\lim_{n\rightarrow ∞} ||x⃗_n||_1$

ist ein normierter Raum.

ist ein Banachraum.

Lebesgue-Integral

Impulsfunktion

Hilberträume: Raum der quadratisch integrierbaren Funktionen L²(a,b)

Euklidischer Unitärer Raum

Einen Banachraum, in dem die Norm wie folgt definiert ist, nennt man euklidischer Raum.

$||x⃗||_2=√{x⃗∙x⃗}$

Dadurch gibt es jetzt: Orthogonalität, Orthonormalbasis.

Jedes x ist jetzt in einer Orthonormalbasis eindeutig darstellbar als:

$x⃗=\sum_{k=1}^{n} ⟨x⃗,φ⃗_k⟩⋅φ⃗_k⟩$

Trigonometrisches Fundamentalsystem in L²(a,b)

Eine orthogonale Basis für L²(a,b) ist:

$B:=\{1,(\cos x),(\sin x),(\cos (2⋅x)),(\sin (2⋅x)),...\}$

Parsevalsche Gleichung

$||f||²=∫_{-π}^{π} f(x)² dx$

Trigonometrische Fourierreihe für L²(-π,+π)

$f∼÷{a_0}{2}+\sum_{k=1}^∞ a_k⋅(\cos (k⋅x))+b_k⋅(\sin (k⋅x))$

$a_k:=÷{1}{π}⋅∫_{-π}^{+π} f(x)⋅(\cos (k⋅x)) dx,k≥0$

$b_k:=÷{1}{π}⋅∫_{-π}^{+π} f(x)⋅(\sin (k⋅x)) dx,k≥1$

Komplexe Fourierreihe für L²(-π,+π)

$f∼\sum_{k=-∞}^{∞} c_k⋅\exp(i⋅k⋅x)$

$c_k:=÷{1}{2⋅π}⋅∫_{-π}^{π} f(ξ)⋅\exp(-i⋅k⋅ξ) dξ, k∈Z$

Wärmeleitung in einem Stab, Sturm-Liouville-Problem

Wärmeleitungsgleichung:

Lösungsansatz durch Separation der Variablen (für einige der Lösungen):

Einsetzen:

Gruppieren:

Jetzt nehmen wir an, dass dieses Verhältnis konstant sei:

Die T-p-Gleichung:

$÷{d}{dt}(\ln T(t))=p$

$\ln T(t)=p⋅t+C$

$T(t)=\exp(p⋅t+C)$

Die X-p-Gleichung:

$X(x):=\exp(λ⋅x)$

$X'(x)=λ⋅\exp(λ⋅x)$

$X''(x)=λ²⋅\exp(λ⋅x)$

$λ²⋅\exp(λ⋅x)=p⋅\exp(λ⋅x)$

Wenn Randbedingungen existieren, dann kann man noch weiter gehen:

$X''=λ⋅X |⋅{\overline X}$

$X''⋅{\overline X}=λ⋅X⋅{\overline X}$

Integrieren von 0 bis π:

$∫_0^{π} X''⋅{\overline X}dx=λ⋅∫_0^{π} X⋅{overline X}$

$∫_0^{π} X''⋅{\overline X}dx=λ⋅∫_0^{π} |X|²$

Links partiell integrieren:

$X'⋅{\overline X}|_{0}^{π}-∫_0^{π} X'⋅|X'|dx=λ⋅∫_0^{π} |X|²$

$-∫_0^{π} X'⋅|X'|dx=λ⋅∫_0^{π} |X|²$

$÷{-∫_0^{π} X'⋅|X'|dx}{∫_0^{π} |X|²}=λ$

Aha...

Author: Danny (remove the ".nospam" to send)

Last modification on: Sat, 04 May 2024 .