Hilbertraum

Prähilbertraum

Banachraum mit zweier-Norm, die dann aus dem sogenannten Inneren Produkt gebildet werden kann.

Beispiel:

(C[a,b],⟨x,y⟩)

Mit:

⟨x,y⟩:=∫_{a}^{b} x(t)⋅y(t) dt

Inneres Produkt

Ein Inneres Produkt ⟨x⃗,y⃗⟩ ist eine Abbildung vom Raum auf seinen Körper K, die folgende Eigenschaften hat:

⟨λ⋅x⃗+μ⋅y⃗,z⃗⟩=λ⋅⟨x⃗,z⃗⟩+μ⋅⟨y⃗,z⃗⟩ Linearität im ersten Argument
⟨x⃗,y⃗⟩=\overline{⟨y⃗,x⃗⟩} Hermitesche Symmetrie
⟨x⃗,x⃗⟩≥0 Definitheit
⟨x⃗,x⃗⟩=0 \Leftrightarrow x⃗=0⃗ Definitheit

Hilbertraum

Ein Hilbertraum ist ein Prähilbertraum, der (bezüglich der induzierten Norm) ein Banachraum ist.

Author: Danny (remove the ".nospam" to send)

Last modification on: Sat, 04 May 2024 .