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03. Komplexe Funktionentheorie

Komplexe Zahlen

Welche Lösung hat diese Gleichung?

Aha. In den reellen Zahlen ist es nicht möglich, für x einen Wert zu ermitteln.

Daher ist der Raum der reellen Zahlen unvollständig und sollte erweitert werden, damit man mit Operationen im Raum nicht aus der Raum rauskommen kann.

Man definiert daher die komplexe Einheit i durch:

Die reelle Einheit ist 1.

Und eine komplexe Zahl z ist dann darstellbar als:

Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen

Sagen wir eine Funktion f(z), z∈C sei differenzierbar an der Stelle , d.h.:

$f'(z_0)=\lim_{z\rightarrow z_0} ÷{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}$

Wie wirkt sich dann die Differenzierung auf den Realteil u und Imaginärteil v der Funktion f aus?

$g:=÷{u(x,y)+i⋅v(x,y)-f(z_0)}{x+i⋅y-x_0-i⋅y_0}$

$g=÷{u(x,y)+i⋅v(x,y)-u(x_0,y_0)-i⋅v(x_0,y_0)}{x+i⋅y-x_0-i⋅y_0}$

$g=÷{u(x,y)-u(x_0,y_0)+i⋅v(x,y)-i⋅v(x_0,y_0)}{x-x_0+i⋅y-i⋅y_0}$

Konjugiert komplex erweitern:

Sagen wir, Δy=0:

$g_1=÷{Δu}{Δx}+i⋅÷{Δv}{Δx}$

Sagen wir, Δx=0:

$g_2=÷{Δv}{Δy}-i⋅÷{Δu}{Δy}$

Grenzübergang:

Sagen wir, Δy=0:

$g_1=(÷{∂}{∂x}u)+i⋅(÷{∂}{∂x}v)$

Sagen wir, Δx=0:

$g_2=(÷{∂}{∂y}v)-i⋅(÷{∂}{∂y}u)$

Daher:

Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen sind daher:

Potenzreihen

Eine Potenzreihe ist eine Reihe der Form:

$\sum\limits_{n=0}^∞ a_n⋅(x-x_0)^n$

Dabei heißt der Entwicklungspunkt der Potenzreihe.

Diese Reihe hat einen Konvergenzradius einer Kreisscheibe mit Mittelpunkt x_0 (die möglicherweise den ganzen Raum einnimmt).

Der Konvergenzradius r ist gleich:

$r=\lim_{n\rightarrow ∞}|÷{a_n}{a_{n+1}}|$

Für ist die Potenzreihe absolut konvergent.

Für ist die Potenzreihe divergent.

Für ist es unentschieden.

Elementare Funktionen

Exponentialfunktion

Immer noch:

$\exp(x):=\sum\limits_{n=0}^∞÷{x^n}{n!}$

Eulersche Darstellung von komplexen Zahlen

$e^{i⋅φ}=(\cos φ)+i⋅(\sin φ)$

Daher gilt für:

$z=x+i⋅y=r⋅e^{i⋅φ}$

$z=r⋅((\cos φ)+i⋅(\sin φ))$

$x+i⋅y=r⋅((\cos φ)+i⋅(\sin φ))$

$x=r⋅(\cos φ)$

$y=r⋅(\sin φ)$

$÷{y}{x}=(\tan φ)$

$φ=\arctan ÷{y}{x}$

Die trigonometrischen Funktionen können daraus auch definiert werden:

Cosinus:

$e^{i⋅φ}=(\cos φ)+i⋅(\sin φ)$

$e^{-i⋅φ}=(\cos φ)-i⋅(\sin φ)$

$e^{i⋅φ}+e^{-i⋅φ}=(\cos φ)+i⋅(\sin φ)+(\cos φ)-i⋅(\sin φ)$

$e^{i⋅φ}+e^{-i⋅φ}=2⋅(\cos φ)$

$(\cos φ):=÷{e^{i⋅φ}+e^{-i⋅φ}}{2}$

Sinus:

$e^{i⋅φ}=(\cos φ)+i⋅(\sin φ)$

$e^{i⋅φ}=÷{e^{i⋅φ}+e^{-i⋅φ}}{2}+i⋅(\sin φ)$

$e^{i⋅φ}-÷{e^{i⋅φ}+e^{-i⋅φ}}{2}=i⋅(\sin φ)$

$÷{2⋅e^{i⋅φ}-e^{i⋅φ}-e^{-i⋅φ}}{2}=i⋅(\sin φ)$

$÷{2⋅e^{i⋅φ}-e^{i⋅φ}-e^{-i⋅φ}}{2⋅i}=(\sin φ)$

$÷{e^{i⋅φ}-e^{-i⋅φ}}{2⋅i}=(\sin φ)$

$(\sin φ):=÷{e^{i⋅φ}-e^{-i⋅φ}}{2⋅i}$

Komplexe Integration, Kurvenintegrale

Die Definition von Integration im Komplexen ist:

Sei h(t)=α(t)+i⋅β(t), t∈[a,b]. Der Real- und Imaginärteil sei stetig.

Das ist das Integral:

$∫_{a}^{b} h(t)dt:=∫_{a}^{b} α(t) dt+i⋅∫_{a}^{b} β(t) dt$

Ein Kurvenintegral wird normalerweise für stückweise glatte Kurven berechnet.

Beispiel:

Wenn C ein Kreis mit Radius 5 um den Punkt 0 ist, was ist dann der Wert des Integrals $∫_{C}z⋅dz$ ?

Lösung:

Parametrisieren wir die Kurve mit $Φ:=5⋅\exp(i⋅t),0≤t≤2⋅π$ .

$Φ'=5⋅t⋅\exp(i⋅t)$

$∫_{C}z⋅dz=∫_{a}^{b} f(z(t))⋅z'(t) dt$

Cauchy'scher Integralsatz

Einfach zusammenhängendes Gebiet

Ein einfach zusammenhängendes Gebiet B ist ein Gebiet, wo das innere jeder in B verlaufenden, glatten, geschlossenen Kurve Teilmenge von B ist - also ohne Löcher.

Wegunabhängigkeit

Ist die Funktion f in einem einfach zusammenhängenden Gebiet differenzierbar, dann ist das Integral über f von der Wahl des Weges unabhängig.

Man schreibt dann für die Gesamtheit aller Wege von nach :

$∫_{z_1}^{z_2} f(z) dz$

Cauchy'scher Integralsatz

Ist die Funktion f in einem einfach zusammenhängenden Gebiet B differenzierbar, so gilt für jede stückweis glatte, ganz in B verlaufende, geschlossene Kurve C:

$∮_{C} f(z) dz=0$

Verallgemeinerte Stammfunktion

Wenn f in einem einfach zusammenhängenden Gebiet B differenzierbar ist, so ist für in diesem Gebiet auch die Funktion F differenzierbar:

$F(z):=∫_{z_0}^{z} f(ζ) dζ$

Außerdem gilt:

(in B). F ist eine Stammfunktion von f.

Eine Funktion, die eine Stammfunktion hat, muss analytisch sein.

Analytisch ist eine Funktion dann, wenn:

eindeutig und differenzierbar, oder
wenn die partiellen Ableitungen die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllen, oder
wenn sie in ihrem Analyse-Bereich beliebig oft differenzierbar ist.

Cauchy'sche Integralformel

Die stückweise glatte, geschlossene Kurve C sei der Rand des Gebietes B und f(z) sei differenzierbar in (B mit Abschluss). Weiters sei ein beliebiger Punkt in B. Dann gilt:

$f(z_0)=÷{1}{2⋅π⋅i}⋅∮÷{f(z)}{z-z_0} dz$