01. Selbstadjungiert

Ausgangspunkt:

L(y):=a(x)⋅y''(x)+b(x)⋅y'(x)+c(x)⋅y(x)

Man möchte erreichen:

L(y)=L^†(y)

wobei:

⟨L(x),y⟩=⟨x,L^†(y)⟩ Beziehung zwischen Abbildung L und zu L adjungierter Abbildung L^†.

Im Intervall [A,B] seien a(x) und b(x) und c(x) stetig und reell. a(x)≠0 für (A,B).

Das Skalarprodukt sei definiert durch:

⟨y_1,y_2⟩:=∫_{A}^{B} y_1(x)⋅y_2(x)⋅dx

Dann erhält man durch 2x partielle Integration:

⟨y_1,L y_2⟩=(a⋅y_1⋅y_2'+b⋅y_1⋅y_2-(a⋅y_1)'⋅y_2)|_A^B+⟨L^†y_1,y_2⟩

Wobei:

L^†(y):=(a⋅y)''-(b⋅y)'+(c⋅y)

Wenn L(y)=L^†(y), dann ist der Differentialoperator selbstadjungiert.

d.h.

a⋅y''+b⋅y'+c⋅y=(a⋅y)''-(b⋅y)'+(c⋅y)
a⋅y''+b⋅y'=(a⋅y)''-(b⋅y)'
a⋅y''+b⋅y'=a''⋅y+a'⋅y'+a'⋅y'+a⋅y''-b'⋅y-b⋅y'
2⋅b⋅y'=a''⋅y+a'⋅y'+a'⋅y'-b'⋅y
2⋅b⋅y'=(a''-b')⋅y+2⋅a'⋅y'
0=(a''-b')⋅y+(2⋅a'-2⋅b)⋅y'
a''=b'∧a'=b selbstadjungiert.

Q: Wozu braucht man das?

A: Zum Vereinfachen von Differentialgleichungen. zB sei L ein selbstadjungierter Differentialoperator, dann gilt:

L(y)=a⋅y''+b⋅y'+c⋅y

Und daher:

L(y)=a⋅y''+a'⋅y'+c⋅y
L(y)=(a⋅y')'+c⋅y

Author: Danny (remove the ".nospam" to send)

Last modification on: Sat, 04 May 2024 .