02. Differentialgleichung

Der selbstadjungierte Sturm-Liouville-Operator ist:

L(y)=(a⋅y')'+c⋅y

Die selbstadjungierte Form einer Differentialgleichung 2. Ordnung ist daher:

(a⋅y')'+c⋅y=0

Gegeben sei eine Differentialgleichung 2. Ordnung:

f''(x)+P(x)⋅f'(x)+Q(x)⋅f(x)=0

Ziel sei, diese Differentialgleichung als eine Sturm-Liouville-Differentialgleichung zu schreiben.

Wir versuchen als indirekten Weg, die selbstadjungierte Form auf diese Form umzuformen:

(a⋅y')'+c⋅y=0
a'⋅y'+a⋅y''+c⋅y=0
a⋅y''+a'⋅y'+c⋅y=0
y''+÷{a'}{a}⋅y'+÷{c}{a}⋅y=0

Dann bekommt man durch Koeffizientenvergleich:

P(x)=÷{a'}{a}
Q(x)=÷{c}{a}

Und damit:

(\ln a)'=P(x)
\ln a=∫ P(x)⋅dx
a=\exp(∫ P(x)⋅dx)
Q(x)⋅a(x)=c(x)

Author: Danny (remove the ".nospam" to send)

Last modification on: Sat, 04 May 2024 .