02.
12) Berechnen Sie das Tensorprodukt dreier Tensoren erster Stufe (1,2) (3,5) und (7,11) bezüglich der Basis {(1,0),(0,1)}. Sind diese Tensoren drehinvariant?
Allgemein gilt:
Daher in diesem speziellen Fall, wo Stufe = Anzahl Indices = 1:
Oder wenn mans ausschreibt:
13) Berechnen Sie das Tensorprodukt 
zweier Tensoren zweiter Stufe
... dargestellt als Matrix,
... bezüglich der Basis {(1,0), (0,1)}.
Allgemein gilt:
Daher in diesem speziellen Fall, wo Stufe = Anzahl Indices = 2:
Die meisten Elemente des Ergebnisses sind 0, außer:
15) Ist das Tensorprodukt kommutativ?
Nein, weil laut Definition des Tensorprodukts:
Wie man sieht, wurden die Indizes bei A und B vertauscht, obwohl sie bei C nicht vertauscht wurden. Da die Indizes ordered sind (auch wenn mans bei der Notation ohne Komma nicht sieht, grr), verändert sich damit die jeweilige Stelle, an der ein Element steht.
16) Ist das Tensorprodukt assoziativ?
Ja, weil:
Das ergibt in Komponentenschreibweise:
17) Vereinfachen und berechnen Sie
... wobei A⃗ ein Vektorfeld ist.
Schrittweise von innen:
Da Epsilon konstant ist:
Da
... folgt:
Unter der Annahme, dass der Satz von Schwarz hier anwendbar ist:
Rechts innen:
Zusammenfassen:
(traditionell wäre das:
)
Vorne das A⃗ draufkreuzen:
Das Minus wegkriegen geht noch:
18) Vereinfachen und berechnen Sie
Von innen beginnend:
So, und da wir nicht wissen, was für ein Produkt das ganz links in der Angabe ist (falls es überhaupt ein Produkt ist), stehen wir an.
19) Vereinfachen und berechnen Sie
... wobei A⃗ ein Vektorfeld, f(x) ein Skalarfeld, B⃗ = const. und x=|x⃗| ist.
Wegen der seltsamen Angabe (zu wenig Klammern) habe ich zuerst mal gerechnet, ob gilt:
mit s Skalar.
Aha, also ja. Beim Nabla-Operator ändert sich dann aber das Ergebnis...
Das richtige Beispiel, von innen beginnend:
Da (wie oben gezeigt) gilt:
Da B=const,
Na toll.
20) Geben Sie explizit ein forminvariantes Tensorfeld 2. Stufe in vier Dimensionen an.
Author: Danny (remove the ".nospam" to send)
Last modification on: Sat, 04 May 2024 .