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03.

21) Koordinatentransformation

Gegeben sind neue Koordinaten:

$\overline x=3⋅x+4⋅y$

$\overline y=-4⋅x+3⋅y$

Gesucht sind:

(i) Die Transformationsmatrix.

(ii) der Maßtensor

(iii) die Koordinaten der neuen Basisvektoren im "alten" kartesischen Basissystem

(iv) ist die neue Basis orthogonal und warum?

(i)

Das Gleichungssystem ist:

$\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ -4 & 3 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \overline x \\ \overline y \end{pmatrix}$

Daher ist die Transformationsmatrix:

$\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ -4 & 3 \end{pmatrix}$

(ii)

Der Maßtensor ist die Jakobimatrix des Gleichungssystems nach den neuen Koordinatenfunktionen, "quadriert":

Wenn $D\vec{R}$ diese Jakobimatrix ist, dann ist der Maßtensor g gleich $(D{\vec{R}})\times (D{\vec{R}})^T$ .

$D{\vec R}=\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ -4 & 3 \end{pmatrix}$

$(D{\vec R})^T=\begin{pmatrix} 3 & -4 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$

$g=\begin{pmatrix} 25 & 0 \\ 0 & 25 \end{pmatrix}$

(iii)

Die Koordinaten der neuen Basisvektoren (a,b) sind die Spaltenvektoren der Matrix, d.h.:

$\vec a=\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$

$\vec b=\begin{pmatrix} -4 \\ 3 \end{pmatrix}$

(iv)

Ja, weil:

${\vec a}∙{\vec b}=0$

22) Basisdrehung

Die Komponenten eines Tensors zweiter Stufe A bezüglich der Basis {(1,0),(0,1)} lauten:

$A_{11}=1$

$A_{12}=1$

$A_{21}=1$

$A_{22}=-1$

(i) Berechnen Sie allgemein die Komponenten von A bezüglich einer um den Winkel φ im Uhrzeigersinn gedrehten Basis.

(ii) Berechnen Sie die Komponenten von A bezüglich einer um den Winkel π/2 im Uhrzeigersinn gedrehten Basis.

(iii) Berechnen Sie die Komponenten von A bezüglich einer um den Winkel π im Uhrzeigersinn gedrehten Basis.

(i)

$I(φ)=\begin{pmatrix}\cos φ&\sin φ\\-\sin φ&\cos φ\end{pmatrix}⨯\begin{pmatrix}1&1\\1&-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}(\cos φ)+(\sin φ)&(\cos φ)-(\sin φ)\\-(sin φ)+(cos φ)&-(\sin φ)-(\cos φ)\end{pmatrix}$

(ii)

$I(÷{π}{2})=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&-1\end{pmatrix}$

(iii)

$I(π)=\begin{pmatrix}-1&-1\\-1&1\end{pmatrix}$

23) Gegeben $A_k=\frac{1}{2}\cdot ε_{ijk}\cdot B_{ij}$ mit $B_{ij}=-B_{ji}$ . Vereinfachen Sie $ε_{mnk}\cdot A_k$ .

$ε_{mnk}⋅A_k=ε_{mnk}⋅\frac{1}{2}⋅ε_{ijk}⋅B_{ij}$

$ε_{mnk}⋅A_k=\frac{1}{2}⋅ε_{mnk}⋅ε_{ijk}⋅B_{ij}$

$ε_{mnk}⋅A_k=\frac{1}{2}⋅(δ_{mi}⋅δ_{nj}-δ_{mj}⋅δ_{ni})⋅B_{ij}$

$ε_{mnk}⋅A_k=\frac{1}{2}⋅(δ_{mi}⋅δ_{nj}⋅B_{ij}-δ_{mj}⋅δ_{ni}⋅B_{ij})$

$ε_{mnk}⋅A_k=\frac{1}{2}⋅(B_{mn}-B_{nm})$

Aus der Angabe ist $B_{ij}=-B_{ji}$ , daher:

$ε_{mnk}⋅A_k=\frac{1}{2}⋅(B_{mn}+B_{mn})$

$ε_{mnk}⋅A_k=\frac{2}{2}⋅B_{mn}$

$ε_{mnk}⋅A_k=B_{mn}$

24) Beweisen Sie folgende Gleichung (aus der Algebra der Drehimpulse in der Quantenmechanik):

$(L_i L_j)-(L_j L_i)=i⋅ε_{ijk}⋅L_k$

wobei

$L_i:=-i⋅ε_{ijk}⋅x_j⋅∂_k$

$L_i=-i⋅ε_{iqk}⋅x_q⋅∂_k$

$L_j=-j⋅ε_{jmn}⋅x_m⋅∂_n$

$(L_i L_j)=-i⋅ε_{iqk}⋅x_q⋅∂_k(-j⋅ε_{jmn}⋅x_m⋅∂_n)$

$(L_i L_j)=i⋅j⋅ε_{iqk}⋅ε_{jmn}⋅x_q⋅∂_k(x_m⋅∂_n)$

$(L_j L_i)=-j⋅ε_{jmn}⋅x_m⋅∂_n(-i⋅ε_{ijk}⋅x_j⋅∂_k)$

TODO

25) Gegeben sei der Tensor (aus der klassischen Mechanik/Trägheitsmoment) $I_{ij}=m⋅(x²⋅δ_{ij}-x_i⋅x_j)$ . Zeigen Sie, das I sich schreiben lässt als $I_{ij}=-M_{il}⋅M_{lj}$ mit $M_{ij}=\sqrt{m}⋅ε_{ijk}⋅x_k$ .

Author: Danny (remove the ".nospam" to send)

Last modification on: Sat, 04 May 2024 .

03.

21) Koordinatentransformation

22) Basisdrehung

23) Gegeben mit . Vereinfachen Sie .

24) Beweisen Sie folgende Gleichung (aus der Algebra der Drehimpulse in der Quantenmechanik):

25) Gegeben sei der Tensor (aus der klassischen Mechanik/Trägheitsmoment) . Zeigen Sie, das I sich schreiben lässt als mit .

23) Gegeben $A_k=\frac{1}{2}\cdot ε_{ijk}\cdot B_{ij}$ mit $B_{ij}=-B_{ji}$ . Vereinfachen Sie $ε_{mnk}\cdot A_k$ .

25) Gegeben sei der Tensor (aus der klassischen Mechanik/Trägheitsmoment) $I_{ij}=m⋅(x²⋅δ_{ij}-x_i⋅x_j)$ . Zeigen Sie, das I sich schreiben lässt als $I_{ij}=-M_{il}⋅M_{lj}$ mit $M_{ij}=\sqrt{m}⋅ε_{ijk}⋅x_k$ .