/ Home / math / Tensor / Übung / 05. /

05.

35) Komponenten des metrischen Tensors für parabolische Zylinderkoordinaten

für $\overline{x}:=\begin{pmatrix} x1 \\ u \\ v \end{pmatrix}$ und:

$x⃗:=\begin{pmatrix} x_1 \\ ÷{1}{2}⋅(u²-v²) \\ u⋅v \end{pmatrix}$

Der Maßtensor g ist definiert als:

$g_{i,j}(\overline{x}_p):=(÷{∂}{∂\overline{x}_i} x_k(\overline{x}_p))⋅(÷{∂}{∂\overline{x}_j} x_k(\overline{x}_p))$

Nebenrechnung:

$÷{∂}{∂\overline{x}_1} x⃗=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$÷{∂}{∂\overline{x}_2} x⃗=\begin{pmatrix} 0 \\ u \\ v \end{pmatrix}$

$÷{∂}{∂\overline{x}_3} x⃗=\begin{pmatrix} 0 \\ -v \\ u \end{pmatrix}$

Skalarprodukte aller Kombinationen dieser Vektoren der Nebenrechnungen sind 0, außer der Kombinationen eines Vektors mit sich selbst. Die sind:

$g=\diag(1,u²+v²,u²+v²)$

Daher sind die Koordinaten orthogonal aufeinander.

36) Drehforminvariantes Tensorfeld A (≠ const) vierter Stufe in R²

Geben Sie ein drehforminvariantes (bezüglich beliebiger zweidimensionaler Drehungen) Tensorfeld A (≠ const) vierter Stufe in R² an. Wie lauten insbesondere die Komponenten $A_{i,j,k,l}$ bezüglich der Basis {(1,0),(0,1)}? Beweisen Sie ihre Behauptung.

zB $A_{i,j,k,l}:=x_i⋅x_j⋅x_k⋅x_l$ .

Von der Tensordefinition ausgehend wissen wir:

$\overline{A}_{I,J,K,L}(\overline{x}_m)=a_{I,i}⋅a_{J,j}⋅a_{K,k}⋅a_{L,l}⋅A_{i,j,k,l}(x_n),\overline{x}_m=x_n⋅a_{m,n}$

$\overline{A}_{I,J,K,L}(\overline{x}_m)=a_{I,i}⋅a_{J,j}⋅a_{K,k}⋅a_{L,l}⋅x_i⋅x_j⋅x_k⋅x_l$

Mit unserem Tensor ist das:

$\overline{A}_{I,J,K,L}(\overline{x}_m)=a_{I,i}⋅a_{J,j}⋅a_{K,k}⋅a_{L,l}⋅\overline{x}_i⋅\overline{x}_j⋅\overline{x}_k⋅\overline{x}_l,\overline{x}_m=x_n⋅a_{m,n}$

$\overline{A}_{I,J,K,L}(\overline{x}_m)=a_{I,i}⋅a_{J,j}⋅a_{K,k}⋅a_{L,l}⋅x_p⋅a_{i,p}⋅x_q⋅a_{j,q}⋅x_r⋅a_{k,r}⋅x_s⋅a_{l,s}$

37) Drehforminvariant?

Gegeben sei ein Tensorfeld:

$T_{i,j}=x_i⋅x_j-÷{|x|²}{2}⋅δ_{i,j}$

$T=\begin{pmatrix} ÷{x_1²-x_2²}{2} & x_2⋅x_1 \\ x_2⋅x_1 & ÷{x_2²-x_1²}{2} \end{pmatrix}$

Im 2-dimensionalen Vektorraum ist eine Drehmatrix a (mit den Abkürzungen $C:=\cos φ$ und $S:=\sin φ$ ):

$a_{i,j}:=C⋅δ_{i,j}+S⋅(1-δ_{i,j})⋅(-1)^{δ_{2,j}}$

(i) ist es Drehforminvariant bezüglich orthogonaler Drehungen?

Zu erreichen:

$T(a⋅x⃗)=\overline{T}(x⃗)$

Daher mal T(a⋅x⃗) berechnen (mit den Abkürzungen C:=\cos φ und S:=\sin φ):

$a⋅x⃗=\begin{pmatrix} C⋅x_1-S⋅x_2 \\ S⋅x_1+C⋅x_2 \end{pmatrix}$

$T(a⋅x⃗)=\begin{pmatrix} ÷{(C⋅x_1-S⋅x_2)²-(S⋅x_1+C⋅x_2)²}{2} & (S⋅x_1+C⋅x_2)⋅(C⋅x_1-S⋅x_2) \\ (S⋅x_1+C⋅x_2)⋅(C⋅x_1-S⋅x_2) & ÷{(S⋅x_1+C⋅x_2)²-(C⋅x_1-S⋅x_2)²}{2} \end{pmatrix}$

Und jetzt die andere Seite:

$\overline{T}_{I,J}=a_{I,i}⋅a_{J,j}⋅T_{i,j}$

$\overline{T}_{I,J}=a_{I,i}⋅T_{i,j}⋅(a^T)_{j,J}$

$\overline{T}=\begin{pmatrix} (C²-S²)⋅÷{x_1⋅x_1-x_2⋅x_2}{2}-2⋅C⋅S⋅x_2⋅x_1 & (C²-S²)⋅x_2⋅x_1+2⋅S⋅C⋅÷{x_1⋅x_1-x_2⋅x_2}{2} \\ -x_2⋅x_1 & (S²-C²)⋅÷{x_1⋅x_1-x_2⋅x_2}{2}+2⋅S⋅C⋅x_2⋅x_1 \end{pmatrix}$

(ii) Bilden Sie die Spur

Spur=0

(iii) Berechnen Sie $ε_{i,j,k}⋅T_{j,k}$

(iv) Berechnen Sie $∂_i T_{i,j}$

$∂_i T_{i,j}=2⋅x_1⋅δ_{1,j}+2⋅x_2⋅δ_{2,j}$

38) Spezialforminvarianz

Ist das Tensorfeld

$T:=\begin{pmatrix} x⋅y & x² & 0 \\ y² & x⋅y & 0 \\ 0 & 0 & x²-y² \end{pmatrix}$

... bezüglich der Basis {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} forminvariant unter der Transformation

$a:=\begin{pmatrix} \cosh α & \sinh α & 0 \\ \sinh α & \cosh α & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$\overline{T}_{I,J}=a_{I,i}⋅a_{J,j}⋅T_{i,j}$

$\overline{T}_{I,J}=a_{I,i}⋅T_{i,j}⋅(a^T)_{j,J}$

In unserem speziellen Fall:

$\overline{T}_{I,J}=a_{I,i}⋅T_{i,j}⋅a_{j,J}$

$\overline{T}=\begin{pmatrix} \cosh α & \sinh α & 0 \\ \sinh α & \cosh α & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}⋅\begin{pmatrix} x⋅y & x² & 0 \\ y² & x⋅y & 0 \\ 0 & 0 & x²-y² \end{pmatrix}⋅\begin{pmatrix} \cosh α & \sinh α & 0 \\ \sinh α & \cosh α & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Mit den Abkürzungen $C:=\cosh α$ und $S:=\sinh α$ wird das:

$\overline{T}=\begin{pmatrix} (C²+S²)⋅x⋅y+C⋅S⋅(x²+y²) & 2⋅S⋅C⋅x⋅y+S²⋅y²+C²⋅x² & 0 \\ 2⋅C⋅S⋅x⋅y+C²⋅y²+S²⋅x² & (S²+C²)⋅x⋅y+S⋅C⋅(y²+x²) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Die innere Drehung ist:

$\begin{pmatrix} \overline{x}_1 \\ \overline{x}_2 \\ \overline{x}_3 \end{pmatrix}=a⋅\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} \overline{x}_1 \\ \overline{x}_2 \\ \overline{x}_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} C⋅x+S⋅y \\ S⋅x+C⋅y \\ z \end{pmatrix}$

$\overline{T}(\overline{x})=\begin{pmatrix} (C²+S²)⋅\overline{x}_1⋅\overline{x}_2+C⋅S⋅(\overline{x}_1²+\overline{x}_2²) & 2⋅S⋅C⋅\overline{x}_1⋅\overline{x}_2+S²⋅\overline{x}_2²+C²⋅\overline{x}_1² & 0 \\ 2⋅C⋅S⋅\overline{x}_1⋅\overline{x}_2+C²⋅\overline{x}_2²+S²⋅\overline{x}_1² & (S²+C²)⋅\overline{x}_1⋅\overline{x}_2+S⋅C⋅(\overline{x}_2²+\overline{x}_1²) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$\overline{T}(\overline{x})=\begin{pmatrix} (C²+S²)⋅(C⋅S⋅(x²+y²)+x⋅y⋅(C²+S²))+C⋅S⋅(C²⋅x²+2⋅C⋅S⋅x⋅y+S²⋅y²+S²⋅x²+2⋅S⋅x⋅C⋅y+C²⋅y²) & 2⋅S⋅C⋅(C⋅x+S⋅y)⋅(S⋅x+C⋅y)+S²⋅(S⋅x+C⋅y)²+C²⋅(C⋅x+S⋅y)² & 0 \\ 2⋅C⋅S⋅(C⋅x+S⋅y)⋅(S⋅x+C⋅y)+C²⋅(S⋅x+C⋅y)²+S²⋅(C⋅x+S⋅y)² & (S²+C²)⋅(C⋅x+S⋅y)⋅(S⋅x+C⋅y)+S⋅C⋅((S⋅x+C⋅y)²+(C⋅x+S⋅y)²) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

39) Maßtensor in elliptischen Zylinderkoordinaten

$x⃗:=\begin{pmatrix} u \\ v \\ z \end{pmatrix}$

$r⃗:=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} (\cosh u)⋅(\cos v) \\ (\sinh u)⋅(\sin v) \\ z \end{pmatrix}$

0≤u, 0≤v≤2⋅π, -∞<z<∞

Der Maßtensor g ist definiert als:

$g_{i,j}(\overline{x}_p):=(÷{∂}{∂\overline{x}_i} x_k(\overline{x}_p))⋅(÷{∂}{∂\overline{x}_j} x_k(\overline{x}_p))$

Nebenrechnung:

$a:=÷{∂}{∂\overline{x}_1} x⃗=\begin{pmatrix} (\sinh u)⋅(\cos v) \\ (\cosh u)⋅(\sin v) \\ 0 \end{pmatrix}$

$b:=÷{∂}{∂\overline{x}_2} x⃗=\begin{pmatrix} -(\cosh u)⋅(\sin v) \\ (\sinh u)⋅(\cos v) \\ 0 \end{pmatrix}$

$c:=÷{∂}{∂\overline{x}_3} x⃗=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

Alle Kombinationen durch inneres Produkt:

$a∙a=(\sinh u)²∙(\cos v)²+(\cosh u)²∙(\sin v)²$

$b∙b=(\cosh u)²∙(\sin v)²+(\sinh u)²∙(\cos v)²$

Der Maßtensor ist dann:

$g=\diag((\sinh u)²⋅(\cos v)²+(\cosh u)²⋅(\sin v)²,(\cosh u)²⋅(\sin v)²+(\sinh u)²⋅(\cos v)²,1)$

40) Gradient und Divergenz in parabolischen Zylinderkoordinaten

für $\overline{x}:=\begin{pmatrix} ξ \\ η \\ φ \end{pmatrix}$ und:

$r⃗:=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} √{ξ⋅η}⋅(\cos φ) \\ √{ξ⋅η}⋅(\sin φ) \\ ÷{1}{2}⋅(ξ-η) \end{pmatrix}$

Der Maßtensor g ist definiert als:

$g_{i,j}(\overline{x}_p):=(÷{∂}{∂\overline{x}_i} x_k(\overline{x}_p))⋅(÷{∂}{∂\overline{x}_j} x_k(\overline{x}_p))$

Mit den Abkürzungen:

$C:=\cos φ$

$S:=\sin φ$

Nebenrechnung:

$a:=(÷{∂}{∂\overline{x}_1} x⃗)=\begin{pmatrix} ÷{1}{2⋅W}⋅η⋅C \\ ÷{1}{2⋅W}⋅η⋅S \\ ÷{1}{2} \end{pmatrix}$

$b:=(÷{∂}{∂\overline{x}_2} x⃗)=\begin{pmatrix} ÷{1}{2⋅W}⋅ξ⋅C \\ ÷{1}{2⋅W}⋅ξ⋅S \\ -÷{1}{2} \end{pmatrix}$

$c:=(÷{∂}{∂\overline{x}_3} x⃗)=\begin{pmatrix} -W⋅S \\ W⋅C \\ 0 \end{pmatrix}$

Alle Kombinationen durch inneres Produkt:

$a∙b=\begin{pmatrix} ÷{1}{2⋅W}⋅η⋅C \\ ÷{1}{2⋅W}⋅η⋅S \\ ÷{1}{2} \end{pmatrix}∙\begin{pmatrix} ÷{1}{2⋅W}⋅ξ⋅C \\ ÷{1}{2⋅W}⋅ξ⋅S \\ -÷{1}{2} \end{pmatrix}$

$b∙c=\begin{pmatrix} ÷{1}{2⋅W}⋅ξ⋅C \\ ÷{1}{2⋅W}⋅ξ⋅S \\ -÷{1}{2} \end{pmatrix}⋅\begin{pmatrix} -W⋅S \\ W⋅C \\ 0 \end{pmatrix}$

$a∙c=\begin{pmatrix} ÷{1}{2⋅W}⋅η⋅C \\ ÷{1}{2⋅W}⋅η⋅S \\ ÷{1}{2} \end{pmatrix}⋅\begin{pmatrix} -W⋅S \\ W⋅C \\ 0 \end{pmatrix}$

d.h.

Nach Rücksubstituieren:

d.h.

$g=\diag(÷{η+ξ}{4⋅ξ},÷{ξ+η}{4⋅η},ξ⋅η)$

Die neuen Basisvektoren:

$\overline{e}_{1,i}=÷{1}{U}⋅÷{∂}{∂\overline{x}_1} x_i$

$\overline{e}_{2,i}=÷{1}{V}⋅÷{∂}{∂\overline{x}_2} x_i$

$\overline{e}_{3,i}=÷{1}{W}⋅÷{∂}{∂\overline{x}_3} x_i$

Gradient ist dann:

$(∇h)_i:=÷{1}{U}⋅\overline{e}_{1,i}⋅(÷{∂}{∂ξ} h)+÷{1}{V}⋅\overline{e}_{2,i}⋅(÷{∂}{∂η} h)+÷{1}{W}⋅\overline{e}_{3,i}⋅(÷{∂}{∂φ} h)$

$(∇h)_i=÷{1}{U²}⋅(÷{∂}{∂\overline{x}_1} x_i)⋅(÷{∂}{∂ξ} h)+÷{1}{V²}⋅÷{∂}{∂\overline{x}_2} x_i⋅(÷{∂}{∂η} h)+÷{1}{W²}⋅÷{∂}{∂\overline{x}_3} x_i⋅(÷{∂}{∂φ} h)$

$(∇h)_i=÷{4⋅W²}{η²+W²}⋅(÷{∂}{∂\overline{x}_1} x_i)⋅(÷{∂}{∂ξ} h)+÷{4⋅W²}{ξ²+W²}⋅(÷{∂}{∂\overline{x}_2} x_i)⋅(÷{∂}{∂η} h)+÷{1}{ξ⋅η}⋅(÷{∂}{∂\overline{x}_3} x_i)⋅(÷{∂}{∂φ} h)$

$(∇h)_i=÷{4⋅ξ}{η+ξ}⋅(÷{∂}{∂ξ} x_i)⋅(÷{∂}{∂ξ} h)+÷{4⋅η}{ξ+η}⋅(÷{∂}{∂η} x_i)⋅(÷{∂}{∂η} h)+÷{1}{ξ⋅η}⋅(÷{∂}{∂φ} x_i)⋅(÷{∂}{∂φ} h)$

Divergenz:

$(∇∙a)=÷{1}{U⋅V⋅W}⋅[\overline{∂}_1(V⋅W⋅a_1)+\overline{∂}_2(U⋅W⋅a_2)+\overline{∂}_3⋅(U⋅V⋅a_3)]$

$(∇∙a)=÷{4}{ξ+η}⋅[\overline{∂}_1(√÷{ξ²+ξ⋅η}{4}⋅a_1)+\overline{∂}_2(√÷{η²+ξ⋅η}{4}⋅a_2)+\overline{∂}_3⋅(÷{ξ+η}{4⋅√{ξ⋅η}}⋅a_3)]$

Author: Danny (remove the ".nospam" to send)

Last modification on: Sat, 04 May 2024 .