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Variationsrechnung

Was ist es?

Anstatt nach dem Extremwert einer Funktion zu fragen, wird nach dem Extremwert eines Funktionals gefragt.

Sagen wir zB, wir wollen den Extremwert von folgendem wissen:

$I:=\int^{t_1}_{t_0} F(x(t), \dot{x}(t),t) dt$

wobei F bekannt sei, die Funktion x aber nicht. Bei welchem x ist I dann minimal/maximal?

Dann gilt für Extremwerte, dass die erste Variation des Integrals 0 sein muss:

$\delta \int^{t_{1}}_{t_{0}} F(x(t), \dot{x}(t),t) dt = 0$

Das ist gleichbedeutend mit der Lösung der Eulerschen Differentialgleichung:

$\frac{d}{dt} \frac{\partial F}{\partial \dot{x}} - \frac{\partial F}{\partial x} = 0$

Da hier $\frac{d}{dt}$ das totale Differential ist (das, das Kreuzabhängigkeiten zwischen den Bausteinfunktionen untereinander auch berücksichtigt), ist das wirkliche Aufstellen der Gleichung ziemlich haarig:

Allgemein gilt bei totaler Differentiation einer Funktion g(t,x(t),y(t)) nach t:

Oder kürzer:

${÷{d}{dt}}g=(∇g)∙÷{d}{dt}\begin{pmatrix} t \\ x \\ y \end{pmatrix}$

Oder noch kürzer (zu kurz), symbolisch:

$dg=(∇g)∙d\begin{pmatrix} t \\ x \\ y \end{pmatrix}$

Wenn das Funktional F nicht explizit von t abhängt, reicht auch das Jacobiintegral:

$\dot{x}\cdot \frac{\partial F(x,\dot{x}) }{\partial\dot{x}}-F(x,\dot{x})=const$

Oder die Beltrami-Identität, obwohl, ob das einfacher ist...

$\dot{x}\cdot\frac{d}{d\dot{x}}x-F=const.$

Ist es noch zu was gut?

Will man eine lineare Differentialgleichung Lu=f mit konstanten Koeffizienten und Inhomogenität lösen, so sucht man sich zuerst eine Fundamentallösung U(x) durch Lösen von:

bzw. zuerst mal für die Fundamentallösung:

$LU=0,x\neq 0$

und dann für die Integrationskonstanten aber folgendes:

$\lim_{\epsilon \rightarrow 0} \int_{-\epsilon}^{\epsilon} LU dx=\lim_{\epsilon \rightarrow 0} \int_{-\epsilon}^{\epsilon} \delta dx=1$

Dann kann man durch Faltung die Inhomogenität f miteinbeziehen und erhält so die Lösung u(x) für Lu=f(x):

Wobei:

$(a*b)(x):=∫_{-∞}^{+∞} a(x-ξ)⋅b(ξ)⋅dξ=∫_{-∞}^{+∞} a(ξ)⋅b(x-ξ)⋅dξ$

Vorsicht, im Gegensatz dazu:

$∫_{-∞}^{+∞} a(ξ)⋅δ(ξ-x)⋅dξ=a(x)$

Anhang über Variationsrechnung (praktisch).
Variationsrechnung (formal).
Variationsrechnung (allgemein und weitreichend).

Graue Theorie

δ ist die Impulsfunktion, $δ:=\lim_{ε\rightarrow 0} δ_ε$ .

Ein Beispiel für eine Impulsfunktion ist $δ_ε(x):=\frac{1}{√{επ}}\cdot e^{-\frac{x²}{ε}}$ . ABER: Normalerweise braucht man ein explizites δ gar nicht, da δ über das Integral definiert ist und man auch damit rumrechnen soll.

Definition der Delta-Distribution δ

$∫_a^b δ(x)⋅dx=\left\{\begin{array}{cl} 1, & a<0<b\\0, & \mbox{sonst} \end{array}\right.$

bzw. auch:

$\lim_{ε\rightarrow 0} ∫_{-ε}^{ε} δ(x)⋅dx=1$

Eigenschaften:

$δ(\neq 0)=0$
$∫_{-∞}^{+∞} δ(x)dx:=\lim_{ε\rightarrow 0} ∫_{-∞}^{+∞} δ_ε(x)⋅dx=1$

Rechenregeln

$∫_{-∞}^{+∞} φ(x)\cdot δ(x-x_0)\cdot dx=φ(x_0)$ .

Gâteaux derivative

δS = S(x+δx) - S(x)

is basically shorthand for the Gâteaux derivative

dS(x;η) = lim_{ε->0} {S(x+εη) - S(x)}/ε

Instead of dragging epsilons and limits around, you can use an infinitesimal that squares to zero - terms of order ε² survive division by ε and vanish after perfoming the limit.

Author: Danny (remove the ".nospam" to send)

Last modification on: Sat, 04 May 2024 in example/.