$L²(-L,L)=f:(-L,L)\rightarrow C;||f||_2<∞$

$⟨f,g⟩:=∫_{-L}^L f(x)⋅\overline{g(x)}⋅dx$

$⟨x,y⟩:=Σ_{k=1}^n x_k⋅\overline{y_k}$

$||f||_2=√{⟨f,f⟩}$

$||f||_2=√{∫_{-L}^L f(x)⋅\overline{f(x)}⋅dx}$

$||f||_2=√{∫_{-L}^L |f(x)|²⋅dx}∈R^+\backslash\{0\}$

$e^{i⋅n⋅π⋅÷{x}{L}},n∈C$ OGB

Orthogonal?

$I:=⟨e^{i⋅n⋅π⋅÷{x}{L}},e^{i⋅m⋅π⋅÷{x}{L}}⟩=0,m≠n$

$I=∫_{-L}^L e^{i⋅n⋅π⋅÷{x}{L}}⋅\overline{e^{i⋅m⋅π⋅÷{x}{L}}}⋅dx$

Nebenrechnung

$e^{i⋅α}=\cos α+i⋅\sin α$

$\overline{e^{i⋅α}}=\cos α-i⋅\sin α$

$\overline{e^{i⋅α}}=\cos α+i⋅\sin(-α)$

$\overline{e^{i⋅α}}=e^{-i⋅α}$

$n≠m,I=∫_{-L}^L e^{i⋅n⋅π⋅÷{x}{L}}⋅e^{-i⋅m⋅π⋅÷{x}{L}}$

$n≠m,I=∫_{-L}^L e^{÷{i⋅π⋅x}{L}⋅(n-m)}$

$n≠m,I=∫_{-L}^L e^{β⋅x}$

$n≠m,I=÷{e^{β⋅x}}{β}|_{-L}^L$

$n≠m,I=÷{1}{β}⋅(e^{L⋅β}-e^{-L⋅β})$

$n≠m,I=÷{1}{β}⋅(e^{i⋅π⋅(n-m)}-e^{-i⋅π⋅(n-m)})$

$n≠m,I=÷{1}{β}⋅(\cos(π⋅(n-m))+i⋅\sin(π⋅(n-m))-\cos(-π⋅(n-m))+i⋅\sin(-π⋅(n-m)))$

Daher ja, orthogonal:

$\hat φ_j orthogonal \hat φ_k,j≠k$

$||e^{÷{i⋅n⋅π⋅x}{L}}||_2=√{2⋅L}$

$\{÷{1}{√{2⋅L}}⋅\exp(i⋅÷{n⋅π⋅x}{L})\},n∈Z$ Orthonormalbasis.

Zurück:

$f(x)=Σ_{n=-∞}^{∞} c_n⋅÷{1}{√{2⋅L}}⋅\exp(i⋅(÷{n⋅π⋅x}{L}))$

$c_n=⟨f(x),\hat φ_n⟩$

$c_n=∫_{-L}^L f(x)⋅\overline{\hat φ_n(x)}⋅dx$

$c_n=∫_{-L}^L f(x)⋅÷{1}{√{2⋅L}}⋅\exp(-i⋅÷{n⋅π⋅x}{L})⋅dx$

$f(x)=Σ_{n=-∞}^{∞} ∫_{-L}^L f(x)⋅÷{1}{√{2⋅L}}⋅\exp(-i⋅÷{n⋅π⋅x}{L})⋅dx⋅÷{1}{√{2⋅L}}⋅\exp(i⋅(÷{n⋅π⋅x}{L}))$

$f(x)=Σ_{n=-∞}^{∞} ÷{1}{√{2⋅L}}⋅÷{1}{√{2⋅L}}⋅∫_{-L}^L f(x)⋅\exp(-i⋅÷{n⋅π⋅x}{L})⋅dx⋅\exp(i⋅(÷{n⋅π⋅x}{L}))$

$f(x)=Σ_{n=-∞}^{∞} ÷{1}{2⋅L}⋅(∫_{-L}^L f(ξ)⋅\exp(-i⋅÷{n⋅π⋅ξ}{L})⋅dξ)⋅\exp(i⋅(÷{n⋅π⋅x}{L}))$

... was eine Funktion f ergibt, die f:(-L,L) nach C abbildet.

Frage: f:(-∞,∞) nach C?

$f(x)=Σ_{n=-∞}^{∞} ÷{1}{2⋅L}⋅(∫_{-L}^L f(ξ)⋅\exp(-i⋅÷{n⋅π⋅ξ}{L})⋅dξ)⋅\exp(i⋅(÷{n⋅π⋅x}{L}))$

$k_n:=÷{n⋅π}{L}$

$Δk_n:=k_{n+1}-k_n$

$÷{π}{L}=Δk_n$

$÷{1}{2⋅L}=÷{Δk_n}{2⋅π}$

$÷{π}{L}=Δk_n$

$÷{1}{2⋅L}=÷{Δk_n}{2⋅π}$

$f(x)=Σ_{n=-∞}^{∞} ÷{Δk_n}{2⋅π}⋅(∫_{-L}^L f(ξ)⋅\exp(-i⋅÷{n⋅π⋅ξ}{L})⋅dξ)⋅\exp(i⋅k_n⋅x))$

$f(x)=÷{1}{2⋅π}⋅Σ_{n=-∞}^{∞} Δk_n⋅(∫_{-L}^L f(ξ)⋅\exp(-i⋅÷{n⋅π⋅ξ}{L})⋅dξ)⋅\exp(i⋅k_n⋅x))$

L sei ∞:

$f(x)=÷{1}{2⋅π}⋅∫_{k=-∞}^{∞} (∫_{-∞}^∞ f(ξ)⋅\exp(-i⋅÷{n⋅π⋅ξ}{L})⋅dξ)⋅\exp(i⋅k⋅x)⋅dk$

(in Klammern sind die Fourierkoeffizienten).

Fouriertransformation

$f:(-∞,∞)\rightarrow C$

$\hat f(k):=∫_{-∞}^∞ f(ξ)⋅\exp(-i⋅k⋅ξ)⋅dξ$

Voraussetzung:

$∫_{-∞}^∞ |f(ξ)|⋅dξ<∞$

$|\hat f(k)|≤∫_{-∞}^∞ |f(ξ)|⋅|\exp(-i⋅k⋅ξ)|⋅dξ$

$|\exp(-i⋅α)|;a∈R$

$\exp(-i⋅α)=\cos(-α)+i⋅\sin(-α)$

$|\exp(-i⋅α)|=(\cos(-α))²+i⋅(\sin(-α))²$

$|\exp(-i⋅α)|=√{(\cos(-α))²+(\sin(-α))²}$

$|\exp(-i⋅α)|=1$

Eigenschaften der Fouriertransformation

Linearität

$\widehat{λ⋅f+μ⋅g}(k)=λ⋅\hat f(k)+μ⋅\hat g(k)$

Fouriertransformation der 1. Ableitung

$\widehat{f'(x)}(k)=i⋅k⋅\hat f(k)$

Fouriertransformation der 2. Ableitung

$\widehat{f'(x)}(k)=-k²⋅\hat f(k)$

Beispiel

a⋅y''(x)+b⋅y'(x)+c⋅y(x)=f(x)

mit a∈R, b∈R, c∈R

1. Schritt:

$\widehat{a⋅y''(x)+b⋅y'(x)+c⋅y(x)}=\widehat{f(x)}$

$a⋅\widehat{y''}(k)+b⋅\widehat{y'}(k)+c⋅\widehat{y}(k)=\widehat{f(x)}$

$a⋅\widehat{y''}(k)+b⋅\widehat{y'}(k)+c⋅\widehat{y}(k)=\tilde{c}(k)$

$c(k)=∫_{-∞}^∞ f(x)⋅\exp(-i⋅k⋅x)⋅dx$

$a⋅(-k²)⋅\hat{y}(k)+b⋅i⋅k⋅\hat{y}(k)+c⋅\hat{y(x)}=\tilde{c}(k)$

$(-a⋅k²+b⋅i⋅k+c)⋅\widehat{y(x)}(k)=\tilde{c}(k)$

2. Schritt:

$\hat y(k)=÷{\tilde{c}(k)}{-a⋅k²+b⋅i⋅k+c}$

3. Schritt: Rücktransformation:

$y(x)=÷{1}{2⋅π}⋅∫_{-∞}^∞ \hat y(k)⋅\exp(i⋅k⋅x)⋅dx$

1. Ableitung der Fouriertransformierten

$(\hat f(k))'=\widehat{-i⋅x⋅f(x)}(k)$

2. Ableitung der Fouriertransformierten

$(\hat f(k))''=\widehat{-x²⋅f(x)}(k)$

Fouriertransformierte der Faltung

$\hat{f*g}(k)=\hat{f}(k)⋅\hat{g}(k)$