09. Drehimpuls und Drehmoment

Kräftepaare

Passiert eine Drehung, dann hat offensichtlich etwas die Translation des Körpers verhindert. Daher muss es eine Gegenkraft vom Körper normal zur Drehachse gegeben haben, die die versuchte Translation verhindert hat.

Man spaltet jetzt die äußere Kraft auf in eine Komponente normal zur Drehachse und eine Tangential zum Körper. Die Komponente normal zur Drehachse wird kompensiert, übrig bleibt die Komponente tangential zum Körper.

Drehimpuls

Der Drehimpuls L bezüglich des Ursprungs des Koordinatensystems ist per Definition:

{\bf L}:={\bf r}⨯{\bf p}

Dieser Drehimpuls steht orthogonal sowohl auf r als auch auf m⋅v.

Bleibt der Drehimpuls konstant und r und p können sich ändern, so wird das auf einer Ebene geschehen, die als Normale den Drehimpulsvektor hat.

Drehmoment

Das Drehmoment D ist:

{\bf D}:=÷{d}{dt}({\bf r}⨯{\bf p})
{\bf D}=(÷{d}{dt}{\bf r})⨯{\bf p}+{\bf r}⨯÷{d}{dt}{\bf p}
{\bf D}={\bf v}⨯{\bf p}+{\bf r}⨯{\bf F}

Da {\bf p}=m⋅{\bf v} und daher v parallel zu m⋅v ist, folgt:

{\bf D}={\bf r}⨯{\bf F}

Andere Koordinatensysteme

Wenn man Polarkoordinaten hat und z=0:

r⃗=\begin{pmatrix} r⋅\cos φ \\ r⋅\sin φ \\ 0 \end{pmatrix}
v⃗=\begin{pmatrix} ṙ⋅(\cos φ)-r⋅(\sin φ)⋅φ̇ \\ ṙ⋅(\sin φ)+r⋅(\cos φ)⋅φ̇ \\ 0 \end{pmatrix}

Abkürzungen:

C:=\cos φ
S:=\sin φ

Dann ist:

|L⃗|=|r⃗⨯p⃗|
|L⃗|=m⋅|r⃗⨯v⃗|
|L⃗|=m⋅\det \begin{vmatrix} r⋅C & ṙ⋅C-r⋅S⋅φ̇ \\ r⋅S & ṙ⋅S+r⋅C⋅φ̇ \end{vmatrix}
|L⃗|=m⋅(r⋅C⋅(ṙ⋅S+r⋅C⋅φ̇)-r⋅S⋅(ṙ⋅C-r⋅S⋅φ̇))
|L⃗|=m⋅(r⋅C⋅ṙ⋅S+r⋅C⋅r⋅C⋅φ̇-r⋅S⋅ṙ⋅C+r⋅S⋅r⋅S⋅φ̇)
|L⃗|=m⋅(r⋅C⋅ṙ⋅S+r²⋅C²⋅φ̇-r⋅S⋅ṙ⋅C+r²⋅S²⋅φ̇)
|L⃗|=m⋅r²⋅φ̇

Author: Danny (remove the ".nospam" to send)

Last modification on: Wed, 15 Jul 2026 .