01. Freie ungedämpfte

Die Kraft F ist der Auslenkung einer Feder von der Ruhelage x proportional (zumindest innerhalb des Bereiches, in dem das Hooksche Gesetz gilt).

Die Bewegungsgleichung einer Masse(F=m⋅a) an einer Feder(F=-D⋅x) ist dann:

m⋅ẍ=-D⋅x

Abkürzung:

ω_0²:=÷{D}{m}
ẍ+ω_0²⋅x=0

Lösung:

x=c⋅e^{λ⋅t}
ẍ=c⋅λ²⋅e^{λ⋅t}
c⋅λ²⋅e^{λ⋅t}+ω_0²⋅c⋅e^{λ⋅t}=0
λ²+ω_0²=0
λ²=-ω_0²
λ=√{-ω_0²}
i:=√{-1}
λ=i⋅√{ω_0²}
λ=±i⋅ω_0

Da die Differentialgleichung zweiter Ordnung ist, folgt:

x=x_1+x_2

∃ zwei verschiedene Eigenwerte λ, falls ω_0≠0, daher:

x_1=c_1⋅e^{i⋅ω_0⋅t}
x_2=c_2⋅e^{-i⋅ω_0⋅t}
Da unsere Lösung x reell sein sollte, folgt für c_1 und c_2:
Im(c_1)=-Im(c_2)
x=c⋅e^{i⋅ω_0⋅t}+d⋅e^{-i⋅ω_0⋅t}

(wobei d die konjugiert komplexe von c∈C ist).

Da e^{i⋅φ}=(\cos φ)+i⋅(\sin φ), folgt:

x=c⋅((\cos ω_0⋅t)+i⋅(\sin ω_0⋅t))+d⋅((\cos -ω_0⋅t)+i⋅(\sin -ω_0⋅t))
x=c⋅((\cos ω_0⋅t)+i⋅(\sin ω_0⋅t))+d⋅((\cos -ω_0⋅t)+i⋅(\sin -ω_0⋅t))
c:=f+i⋅g
d=f-i⋅g
x=(f+i⋅g)⋅((\cos ω_0⋅t)+i⋅(\sin ω_0⋅t))+(f-i⋅g)⋅((\cos -ω_0⋅t)+i⋅(\sin -ω_0⋅t))
x=f⋅((\cos ω_0⋅t)+i⋅(\sin ω_0⋅t))+i⋅g⋅((\cos ω_0⋅t)+i⋅(\sin ω_0⋅t))+f⋅((\cos -ω_0⋅t)+i⋅(\sin -ω_0⋅t))-i⋅g⋅((\cos -ω_0⋅t)+i⋅(\sin -ω_0⋅t))
C:=\cos ω_0⋅t
S:=\sin ω_0⋅t
x=f⋅(C+i⋅S)+i⋅g⋅(C+i⋅S)+f⋅(C-i⋅S)-i⋅g⋅(C-i⋅S)
x=f⋅C+i⋅f⋅S+i⋅g⋅C+i⋅g⋅i⋅S+f⋅C-i⋅f⋅S-i⋅g⋅C+i⋅g⋅i⋅S)
x=f⋅C+f⋅C-g⋅S-g⋅S+i⋅(f⋅S+g⋅C-f⋅S-g⋅C)
x=2⋅f⋅C-2⋅g⋅S+i⋅0
x=2⋅f⋅C-2⋅g⋅S
x=2⋅f⋅(\cos ω_0⋅t)-2⋅g⋅(\sin ω_0⋅t)

Author: Danny (remove the ".nospam" to send)

Last modification on: Wed, 15 Jul 2026 .