Lösung

Operatoren in Bra-Ket-Schreibweise

|ψ⟩:=5⋅|1⟩+I⋅|2⟩

a) Normiertes |ψ⟩=? und noch einen normierten Zustand, der orthogonal zu |ψ⟩ ist.

÷{|ψ⟩}{||ψ⟩|}=?
||ψ⟩|=√{⟨ψ|ψ⟩}
||ψ⟩|²=⟨ψ|(5⋅|1⟩+I⋅|2⟩)
||ψ⟩|²=5⋅⟨ψ|1⟩+I⋅⟨ψ|2⟩
⟨ψ|=5⋅⟨1|-I⋅⟨2|
||ψ⟩|=√{26}
÷{|ψ⟩}{||ψ⟩|}=÷{1}{√{26}}⋅(5⋅|1⟩+I⋅|2⟩)

Orthogonalisierte Vektoren finden durch Gram-Schmidt wenn normalisiert:

w⃗_1=v⃗_1
w⃗_2=v⃗_2-⟨v⃗_1|w⃗_1⟩⋅w⃗_1
w⃗_3=v⃗_3-⟨v⃗_3|w⃗_1⟩⋅w⃗_1-⟨v⃗_3|w⃗_2⟩⋅w⃗_2

Leichter:

Zu erreichen:

⟨n|ψ⟩=0 soll gelten
|n⟩=c_1⋅|1⟩+c_2⋅|2⟩ soll erreicht werden
⟨n|=c_1⋅⟨1|+c_2^*⋅⟨2| im Dualraum (ohne *, da außen)
(c_1⋅⟨1|+c_2^*⋅⟨2|)|ψ⟩=0 soll gelten
c_1⋅⟨1|ψ⟩+c_2^*⋅⟨2|ψ⟩=0
c_1⋅⟨1|⋅(5⋅|1⟩+I⋅|2⟩)+c_2^*⋅⟨2|⋅(5⋅|1⟩+I⋅|2⟩)=0
c_1⋅(5⋅⟨1|1⟩+I⋅⟨1|2⟩)+c_2^*⋅(5⋅⟨2|1⟩+I⋅⟨2|2⟩)=0
c_1⋅5+c_2^*⋅I=0
c_1:=-1
-5+c_2^*⋅I=0
c_2^*⋅I=5
c_2^*=-5⋅I
|n⟩=-|1⟩+5⋅I⋅|2⟩
⟨n|=-⟨1|-5⋅I⋅⟨2|

Probe:

⟨n|ψ⟩=(-⟨1|-5⋅I⋅⟨2|)⋅(5⋅|1⟩+I⋅|2⟩)
⟨n|ψ⟩=(-⟨1|-5⋅I⋅⟨2|)⋅5⋅|1⟩+(-⟨1|-5⋅I⋅⟨2|)⋅I⋅|2⟩
⟨n|ψ⟩=5⋅(-⟨1|1⟩-5⋅I⋅⟨2|1⟩)+I⋅(-⟨1|2⟩-5⋅I⋅⟨2|2⟩)
⟨n|ψ⟩=5⋅(-1)+I⋅(-5⋅i)
⟨n|ψ⟩=-5+(-1)⋅(-5)
⟨n|ψ⟩=-5+5
⟨n|ψ⟩=0

b) H:=|1⟩⟨1|-|2⟩⟨2|-i|1⟩⟨2|+i|2⟩⟨1|, was ist die Matrixdarstellung bezüglich der Basis {|1⟩,|2⟩}? Ist der Operator hermitesch?

H:=|1⟩⟨1|-|2⟩⟨2|-I|1⟩⟨2|+I|2⟩⟨1|

Im Allgemeinen gilt durch Anwenden des id-Operators links und rechts auf H:

\mbox{id}\:H\:\mbox{id}=\mbox{id}\:H∑\limits_n |ψ_n⟩⋅⟨ψ_n|
\mbox{id}\:H\:\mbox{id}=∑\limits_m |ψ_m⟩⋅⟨ψ_m|H∑\limits_n |ψ_n⟩⋅⟨ψ_n|
\mbox{id}\:H\:\mbox{id}=∑\limits_m ∑\limits_n |ψ_m⟩⋅⟨ψ_m|H|ψ_n⟩⋅⟨ψ_n|
\mbox{id}\:H\:\mbox{id}=∑\limits_m ∑\limits_n ⟨ψ_m|H|ψ_n⟩⋅|ψ_m⟩⋅⟨ψ_n|
\mbox{id}\:H\:\mbox{id}=∑\limits_m ∑\limits_n H_{mn}⋅|ψ_m⟩⋅⟨ψ_n|

Sei i der Zeilen- und j der Spaltenindex, dann sind die Elemente A^{ij} der Matrix:

A^{ij}=(ψ_i, H ψ_j)
A^{ij}=⟨ψ_i|H|ψ_j⟩
A^{ij}=⟨ψ_i|(|1⟩⟨1|ψ_j⟩-|2⟩⟨2|ψ_j⟩-I|1⟩⟨2|ψ_j⟩+I|2⟩⟨1|ψ_j⟩)⟩
A^{ij}=δ^{i1}⋅δ^{j1}-δ^{i2}⋅δ^{j2}-I⋅δ^{i1}⋅δ^{j2}+I⋅δ^{i2}⋅δ^{j1}
A=\begin{pmatrix} 1 & -I \\ I & -1 \end{pmatrix}

Da es genügt, den Operator bezüglich einer Basis zu kennen, um ihn überall zu kennen, reicht es, zu zeigen, dass:

A^H=A
\begin{pmatrix} 1 & -I \\ I & -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & -I \\ I & -1 \end{pmatrix}

Der Operator ist hermitesch.

c) Berechnen Sie den Erwartungswert des Operators H im Zustand |ψ⟩

⟨H⟩:=÷{⟨ψ|H|ψ⟩}{⟨ψ|ψ⟩}

Wenn normiert:

⟨H⟩=|ψ⟩^H H |ψ⟩
⟨H⟩=÷{1}{26}⋅\begin{pmatrix} 5 & -I \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -I \\ I & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ I \end{pmatrix}
⟨H⟩=÷{34}{26}
⟨H⟩=÷{17}{13}

d) Geben Sie die unitäre Transformation U (d.h. U U^†=U^† U=id) in Dirac-Notation von der Basis {|1⟩,|2⟩} in die Eigenbasis von H an.

Zuerst berechnen wir die Eigenbasis:

H ψ=E⋅ψ
(H-id E) ψ=0
\det[H-id E]=0
\begin{vmatrix} 1-E & -I \\ I & -1-E \end{vmatrix}=0
E²=2

Der Eigenvektor zu E=√2 ist dann:

\begin{pmatrix} 1-√2 & -I \\ I & -1-√2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=0⃗
x:=1
y=÷{I}{√{2}+1}

Der Eigenvektor zu E=-√2 ist dann:

\begin{pmatrix} 1+√2 & -I \\ I & -1+√2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=0⃗
y:=1
x=÷{I}{√{2}+1}
U^†:=c⋅\begin{pmatrix} 1 & ÷{I}{√{2}+1} \\ ÷{I}{√{2}+1} & 1 \end{pmatrix}
U=c⋅\begin{pmatrix} 1 & ÷{-I}{√{2}+1} \\ ÷{-I}{√{2}+1} & 1 \end{pmatrix}
c²⋅\begin{pmatrix} 1+÷{1}{√2+1} & 0 \\ 0 & 1+÷{1}{√2+1} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
c²=÷{√2+1}{√2+2}

Schrödingergleichung in Impuls-Darstellung

a) Lösen Sie die Schrödingergleichung in Impuls-Darstellung für das Potential V mit ε<0 mit

V[x]:=ε⋅x
\hat{x} V:=I⋅ħ⋅÷{∂}{∂p} V
I⋅ħ⋅÷{∂}{∂t}ϕ[p,t]=÷{p² ϕ[p,t]}{2⋅m}+V[I⋅ħ⋅÷{∂}{∂p}] ϕ[p,t]
I⋅ħ⋅ϕ̇=÷{p²⋅ϕ[p,t]}{2⋅m}+ε⋅I⋅ħ⋅÷{∂}{∂p} ϕ[p,t]

Produktansatz:

ϕ[p,t]:=P[p]⋅T[t]
I⋅ħ⋅P⋅Ṫ=÷{p²⋅P⋅T}{2⋅m}+ε⋅I⋅ħ⋅(÷{∂}{∂p} P)⋅T
I⋅ħ⋅÷{Ṫ}{T}=÷{p²}{2⋅m}+ε⋅I⋅ħ⋅÷{(÷{∂}{∂p} P)}{P}=E
T[t]:=\exp[-÷{i}{ħ}⋅E⋅t]

b) Normieren Sie die Lösungen ψ_e[p] der zeitabhängigen Schrödingergleichung zur Energie E, gemäß:

∫\limits_{-∞}^{∞} ψ_E^*[p] ψ_{E'}[p]⋅dp=δ[E-E']

c) Zeigen Sie, dass die Eigenfunktion im Ortsraum folgende Form hat

ψ_E[x]=÷{α}{√{π⋅ε}}⋅Ai[-α⋅(x+÷{E}{ε})]

mit

Ai[y]:=÷{1}{√π}⋅∫\limits_{0}^{∞} \cos[÷{t³}{3}+t⋅y]⋅dt