04. Kletteroperator

Harmonischer Oszillator

Zusammenfassung

v_n[x]:=÷{1}{√{n!}}⋅(a^†)^n v_0[x] Eigenfunktionen
v_0[x]:=÷{1}{√{√{π}⋅x_0}}⋅\exp[-÷{1}{2}⋅÷{x²}{x_0²}] Eigenfunktionen
E_n:=ħ⋅ω⋅(n+÷{1}{2}) Eigenwerte
x_0:=√{÷{ħ}{m⋅ω}}

Siehe auch Harmonischer Oszillator.

Allgemeine Lösung durch Hermitesche Polynome

Die Schrödingergleichung ist:

H ψ=E⋅ψ

mit:

H ψ[x]:=÷{-ħ²⋅ψ''[x]}{2⋅m}+V[x]⋅ψ[x]
V[x]:=÷{1}{2}⋅m⋅ω²⋅x²

Wir führen neue dimensionslose Variablen y und ε ein:

x=x_0⋅y
E=ε⋅ħ⋅ω
X[y]:=ψ[x_0⋅y]
-÷{ħ⋅ω}{2}⋅X''[y]+÷{ħ⋅ω}{2}⋅y²⋅X[y]=ε⋅ħ⋅ω⋅X[y]
-ħ⋅ω⋅X''[y]+ħ⋅ω⋅y²⋅X[y]=2⋅ε⋅ħ⋅ω⋅X[y]

Ansatz:

X[y]:=P[y]⋅\exp[-÷{y²}{2}]
-ħ⋅ω⋅X''[y]+ħ⋅ω⋅y²⋅X[y]=2⋅ε⋅ħ⋅ω⋅X[y]
-X''[y]+y²⋅X[y]=2⋅ε⋅X[y]

... ziemlich kompliziert und unnötig (siehe unten für Alternative)

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Substitution:

A[y]:=\exp[-÷{y²}{2}]
-÷{∂}{∂y}÷{∂}{∂y}(P[y]⋅A[y])+y²⋅(P[y]⋅A[y])=2⋅ε⋅(P[y]⋅A[y])
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-((P[y]⋅A[y])')'+y²⋅(P[y]⋅A[y])=2⋅ε⋅(P[y]⋅A[y])
-(P''⋅A+P'⋅A'+P'⋅A'+P⋅A'')+y²⋅(P[y]⋅A[y])=2⋅ε⋅(P[y]⋅A[y])
-(P''⋅A+2⋅P'⋅A'+P⋅A'')+y²⋅(P[y]⋅A[y])=2⋅ε⋅(P[y]⋅A[y])
-(P''⋅A-2⋅P'⋅y⋅A-P⋅A+P⋅y²⋅A)+y²⋅(P[y]⋅A[y])=2⋅ε⋅(P[y]⋅A[y])
-(P''-2⋅P'⋅y-P+P⋅y²)+y²⋅P[y]=2⋅ε⋅P[y]
-P''+2⋅P'⋅y+P-P⋅y²+y²⋅P[y]=2⋅ε⋅P[y]
-P''+2⋅P'⋅y=(2⋅ε-1)⋅P
-P''+2⋅P'⋅y=2⋅(ε-÷{1}{2})⋅P

Substitution:

n:=ε-÷{1}{2}
-P''+2⋅P'⋅y=2⋅n⋅P

n muss eine natürliche Zahl sein, damit diese Gleichung eine Lösung hat.

P_n[y]:=(-1)^n⋅\exp[-y²]⋅(÷{d}{dy})^n \exp[-y²]

Lösung mittels Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren

Es gibt eine andere viel einfachere Möglichkeit:

Seien definiert:

a:=÷{1}{√2}⋅(y+÷{d}{dy}) Vernichtungsoperator
a^†:=÷{1}{√2}⋅(y-÷{d}{dy}) Erzeugungsoperator

Dann ist:

y=÷{1}{√2}⋅(a+a^†)
÷{d}{dy}=÷{1}{√2}⋅(a-a^†)

Wieder mit Einheiten:

x=x_0⋅y
x=x_0⋅÷{1}{√2}⋅(a+a^†)
x=√{÷{ħ}{m⋅ω}}⋅÷{1}{√2}⋅(a+a^†)
p=-i⋅ħ⋅÷{d}{dx}
p=-i⋅ħ⋅√{÷{m⋅ω}{ħ}}⋅÷{d}{dy}
p=-i⋅ħ⋅√{÷{m⋅ω}{ħ}}⋅÷{1}{√2}⋅(y-÷{d}{dy})

Definition des Vertauschungsmaßes (Kommutator):

[a,a^†]:=a a^† -a^† a

Daraus folgt:

[a,a^†]=1
a a^† -a^† a=1
a a^†=1+a^† a

Damit ist der Hamiltonoperator (wieder einheitenfrei):

H_v X=÷{1}{2}⋅(-X''+y²⋅X)=ε⋅X
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H_v X=÷{1}{2}⋅(-X''+y²⋅X)
H_v X=÷{1}{2}⋅(-÷{1}{√2}⋅(a-a^†) ÷{1}{√2}⋅(a-a^†) X+÷{1}{√2}⋅(a+a^†) ÷{1}{√2}⋅(a+a^†) X)
H_v X=÷{1}{2}⋅(-÷{1}{2}⋅(a-a^†) (a-a^†) X+÷{1}{2}⋅(a+a^†) (a+a^†) X)
H_v X=÷{1}{4}⋅(-(a-a^†) (a-a^†)+(a+a^†) (a+a^†)) X
H_v X=÷{1}{4}⋅(-(a a-a^† a-a a^†+a^† a^†) +(a a+a^† a+a a^†+a^† a^†)) X
H_v X=÷{1}{4}⋅(-a a+a^† a+a a^†-a^† a^†+a a+a^† a+a a^†+a^† a^†) X
H_v X=÷{1}{4}⋅(2⋅a^† a+2⋅a a^†) X
H_v X=÷{1}{2}⋅(a^† a+a a^†) X
H_v X=÷{1}{2}⋅(a^† a+1+a^† a) X
H_v X=÷{1}{2}⋅(2⋅a^† a+1) X
H_v X=(a^† a+÷{1}{2}) X

Eigenwerte von a^† a

Die Eigenwerte zu a^† a sind positiv oder 0.

a^† a ψ_n=n⋅ψ_n

Eigenfunktionen von a^† a

a^† ψ_n ist Eigenfunktion zum Eigenwert (n+1)

0. Eigenfunktion:

a^† a ψ_0=0⋅ψ_0
(ψ_0, a^† a ψ_0)=(ψ_0, 0⋅ψ_0)
(ψ_0, a^† a ψ_0)=0
(a ψ_0, a ψ_0)=0
a ψ_0=0
÷{1}{√2}⋅(y+÷{d}{dy}) ψ_0=0
y⋅ψ_0+÷{dψ_0}{dy}=0
y⋅ψ_0+ψ_0'=0
ψ_0:=\exp[-÷{y²}{2}]

Die weiteren Eigenfunktionen:

ψ_{n+1}=a^† ψ_n
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Beweis:

a^† a ψ_{n+1}=(n+1)⋅ψ_{n+1}
a^† (a^† a+1) ψ_n=(n+1)⋅a^† ψ_n
a^† (a^† a+1) ψ_n=(n+1)⋅a^† ψ_n
a^† (a^† a+1) ψ_n=(n+1)⋅a^† ψ_n
a^† (a^† a ψ_n+ψ_n)=(n+1)⋅a^† ψ_n
a^† (n⋅ψ_n+ψ_n)=(n+1)⋅a^† ψ_n
(n+1)⋅a^† ψ_n=(n+1)⋅a^† ψ_n

Bitte beachten, dass der Eigenvektor nicht mehr notwendigerweise normiert ist und entsprechend normieren:

ψ_{n+1}=÷{1}{√{n+1}}⋅a^† ψ_n

Auf dieselbe Art:

ψ_{n-1}=a ψ_n

(Normierung fehlt - wenn erwünscht, muss diese sichergestellt werden)

a^† a ψ_{n-1}=(n-1)⋅ψ_{n-1}
ψ_{n-1}=a ψ_n
a^† a a ψ_n=(n-1)⋅a ψ_n
a a^†-1=a^† a
(a a^†-1) a ψ_n=(n-1)⋅a ψ_n
(a a^† a-a) ψ_n=(n-1)⋅a ψ_n
a (a^† a-1) ψ_n=(n-1)⋅a ψ_n
a (n-1) ψ_n=(n-1)⋅a ψ_n
(n-1)⋅a ψ_n=(n-1)⋅a ψ_n

Kohärente Zustände

= Eigenfunktionen des Vernichtungsoperators

a ψ_α=α⋅ψ_α

Die Eigenwerte α sind komplex, da a nicht hermitesch ist.

Author: Danny (remove the ".nospam" to send)

Last modification on: Wed, 15 Jul 2026 .