05. Kommutator

Der Kommutator gibt die Vertauschbarkeit von Operatoren an.

Gegeben seien zwei Operatoren A und B. Dann ist der Kommutator [A,B] definiert als:

[A,B]ψ=A B ψ-B A ψ

Manchmal schreibt man abkürzend (und ungenau):

[A,B]=A B-B A

Zahlen vertauschen immer, daher ist [x,y]=0 wenn x und y Zahlen sind.

Vertauschbarkeit von Ableitungen

Ort und Ortsableitung:

[x^i,÷{∂}{∂x^j}]ψ=x^i⋅÷{∂}{∂x^j}ψ-÷{∂}{∂x^j} (x^i⋅ψ)
[x^i,÷{∂}{∂x^j}]ψ=x^i⋅÷{∂ψ}{∂x^j}-÷{∂(x^i⋅ψ)}{∂x^j}
[x^i,÷{∂}{∂x^j}]ψ=x^i⋅÷{∂ψ}{∂x^j}-÷{∂x^i}{∂x^j}⋅ψ-x^i⋅÷{∂ψ}{∂x^j}
[x^i,÷{∂}{∂x^j}]ψ=x^i⋅÷{∂ψ}{∂x^j}-δ^i_j⋅ψ-x^i⋅÷{∂ψ}{∂x^j}
[x^i,÷{∂}{∂x^j}]ψ=-δ^i_j⋅ψ

Ort und Impuls:

Da gilt

\hat p_j:=-I⋅ħ⋅÷{∂}{∂x^j}
I²=-1

folgt:

[x^i,-I⋅ħ⋅÷{∂}{∂x^j}]ψ=I⋅ħ⋅δ^i_j⋅ψ
[x^i,p_j]ψ=I⋅ħ⋅δ^i_j⋅ψ

Author: Danny (remove the ".nospam" to send)

Last modification on: Wed, 15 Jul 2026 .