06. Zeitentwicklung

Ausgehend von der Schrödingergleichung

versuchen wir zu einer Zeitentwicklung bezüglich stationärer Funktionen zu kommen:

Dazu machen wir einen Produktansatz:

$÷{I⋅ħ⋅ḟ}{f}=÷{-ħ²}{2⋅m}⋅÷{∇² ψ_0}{ψ_0}+V=E$

Wenn wir die Amplitude in den Ortsteil auslagern, dann genügt der folgende Ansatz der Zeit-Differentialgleichung:

$f[t]:=\exp[÷{-I⋅E⋅t}{ħ}]$

Seien die Eigenfunktionen des stationären Teils.

Eigenfunktionen können orthogonalisiert werden:

$(ψ^0_n,ψ^0_m)=δ_{nm}$

Wenn man alle Eigenfunktionen ermittelt hat, bilden diese eine Basis:

$∑\limits_n (ψ^0_n)^*[x']⋅ψ^0_n[x]=δ[x-x']$ Vollständigkeit

$∑\limits_n (ψ^0_n)^*[x']⋅ψ^0_n[x]=δ[x-x']$

... komplett unverständliche Ausführungen später...

$ψ[x,t]=∑\limits_n c_n[t]⋅ψ_n^0[x]$

$I⋅ħ⋅÷{∂}{∂t}(∑\limits_n c_n[t]⋅ψ_n^0[x])=\hat{H} ∑\limits_n c_n[t]⋅ψ_n^0[x]$

$I⋅ħ⋅(∑\limits_n ċ_n[t]⋅ψ_n^0[x])=∑\limits_n ċ_n[t]⋅E_n⋅ψ_n^0[x]$

Koeffizientenvergleich:

$I⋅ħ⋅ċ_n[t]=∑\limits_n ċ_n[t]⋅E_n$

$c_n[t]:=c_n^0⋅\exp[÷{-I}{ħ}⋅E_n⋅t]$

$ψ[x,t]=∑\limits_n c_n^0⋅\exp[÷{-I⋅E_n⋅t}{ħ}]$

wobei

Anfangsbedingung

Author: Danny (remove the ".nospam" to send)

Last modification on: Wed, 15 Jul 2026 .