07. Relativistische Kinematik

Sei der Maßtensor g:

g:=\diag(1,-1,-1,-1)

Und ein Punkt in der Raumzeit sei repäsentiert als Vierervektor, wobei die 0.Komponente die "Zeit"-Komponente (c⋅t) sei:

x⃗:=\begin{pmatrix} c⋅t \\ x \\ y \\ z \end{pmatrix}
x^a ist dann eine Displacement-Komponente.

In der Relativitätstheorie wird gezeigt, dass in allen Bezugssystemen die Größe ds konstant bleibt, die wie folgt definiert ist:

ds²=c²⋅dt²-dx²-dy²-dz² Raumzeitintervall.

In Tensorschreibweise ist das:

ds²=x^a⋅x^b⋅g_{ab} Raumzeitintervall.

Je nachdem, ob ds²>0, gibt es Raumartige oder Zeitartige Intervalle.

Zeitartige Intervalle

ds²>0 Bedingung für zeitartige Intervalle.

Dann ist die Wirkliche Zeit τ, die man erfährt, wenn man sich zwischen zwei Ereignissen auf dem Pfad P bewegt:

τ:=∫\limits_{P} dτ

Wobei:

dτ:=√{g_{ij}⋅dx^i⋅dx^j}

Ruhemasse

E²=c²⋅p²+m_0²⋅c⁴
m_0²⋅c²=p^i⋅p^j⋅g_{ij}
m_0²⋅c²=÷{E²}{c²}-p_x²-p_y²-p_z²

D'Alembert-Operator

\quabla:=÷{1}{c²}⋅{∂_t}²-{∂_x}²-{∂_y}²-{∂_z}²
\quabla:=g^{ij}⋅∂_i ∂_j

Partielle Ableitung

Bei der partiellen Ableitung nach der Zeit wird implizit durch c dividiert.

4-Geschwindigkeit

÷{dx⃗}{dτ}=γ⋅\begin{pmatrix} c \\ ẋ \\ ẏ \\ ż \end{pmatrix}
÷{dx^a}{dτ}

4-Impuls

p⃗=m_0⋅÷{dx⃗}{dτ}=\begin{pmatrix} ÷{E}{c} \\ p_x \\ p_y \\ p_z \end{pmatrix}
p^a

4-Strom

j=\begin{pmatrix} c⋅ρ \\ j_x \\ j_y \\ j_z \end{pmatrix}
j^a

Elektromagnetischer Feldtensor

F:=\begin{pmatrix} 0 & ÷{E_x}{c} & ÷{E_y}{c} & ÷{E_z}{c} \\ -÷{E_x}{c} & 0 & -B_z & B_y \\ -÷{E_y}{c} & B_z & 0 & -B_x \\ -÷{E_z}{c} & -B_y & B_x & 0 \end{pmatrix}

Author: Danny (remove the ".nospam" to send)

Last modification on: Wed, 15 Jul 2026 .